Ենթադրենք՝ վեկտորների գումարը կազմված է մի քանի հավասար վեկտորներից, օրինակ՝ a + a + a: Բնական է, ինչպես և թվերի դեպքում է, այդ գումարը նշանակել 3a – ով: Պարզ է, որ 3a վեկտորը համուղղված է a վեկտորին, իսկ դրա երկարությունը երեք անգամ մեծ է a վեկտորի երկարությունից:

$a+a+a=3a$, որտեղ

Նկատենք նաև, որ -a + (-a) վեկտորը մի վեկտոր է, որի երկարությունը 2 անգամ մեծ է a վեկտորի երկարությունից և հակուղղված է a վեկտորին:
Այս օրինակները հուշում են, թե ինչպես սահմանենք թվի և վեկտորի արտադրյալը:
Ոչ զրոյական a վեկտորի և k թվի արտադրյալ կոչվում է այն b վեկտորը, որի երկարությունը հավասար է |k|*|a|, ընդ որում՝ a և b վեկտորները համուղղված են, եթե k >= 0 , և հակուղղված են, եթե k < 0 :

$-a+(-a)=-2a$, որտեղ

a վեկտորի և k թվի արտադրյալը նշանակվում է ka: Նկարում պատկերված են a, 1,5a, – 2a վեկտորները:Նկարում ցույց է տրված, որ՝

Թվի և վեկտորի արտադրյալի սահմանումից հետևում է, որ.
1) Զրոյական վեկտորի և ցանկացած թվի արտադրյալը, ինչպես նաև ցանկացած վեկտորի և զրոյի արտադրյալը զրոյական վեկտոր է. k*0 = 0
0 * a = 0 :
2)a և ka վեկտորները համագիծ են։

k⋅0=0 և 0⋅a=0, այսինքն՝ ստացվում է զրոյական վեկտոր։k⋅0=0 և 0⋅a=0, այսինքն՝ ստացվում է զրոյական վեկտոր։

Ցանկացած k, m թվերի և ցանկացած a, b վեկտորների համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները.
1) (km) a = k(ma) (զուգորդական օրենք),(km)⋅a=k⋅(m⋅a)
2) (k+m) a = ka + ma (առաջին բաշխական օրենք),(k+m)⋅a=k⋅a+m⋅a
3) k (a + b) = ka + kb (երկրորդ բաշխական օրենք):k⋅(a+b)=k⋅a+k⋅b

Առաջադրանքներ․

1)Տրված են a և b վեկտորները: Կառուցե՛ք հետևյալ վեկտորները.

ա) 2a— $a$-ին համուղղված, երկարությունը՝ $2|a|$
բ) — 2a-$a$-ին հակուղղված, երկարությունը՝ $2|a|$
գ) 1/3a3 1 ​ a — a-ին համուղղված, երկարությունը՝ 3 1 ​ ∣a∣
դ) 3b

3b — b-ին համուղղված, երկարությունը՝ 3∣b∣

ե)-1/2b2 1 ​ b — b-ին հակուղղված, երկարությունը՝ 2 1 ​ ∣b∣
զ) -4b — $b$-ին հակուղղված, երկարությունը՝ $4|b|$

2)Պարզեցրեք արտահայտությունները.
ա) 3(a + b) — 2(a — b )
բ) 4a + 5b — 2(a + 2b )
գ) 1/3(a + b) + 2/3(a — b)

3)Համուղղված են, թե՞ հակուղղված a և b ոչ զրոյական վեկտորները, եթե.
ա) b = 2aհամուղղված են (2 > 0)
բ) b = -3a հակուղղված են (-3 < 0)
գ) a = 1/3b հակուղղված են (-3 < 0)
դ)a = -1/2b հակուղղված են (-3 < 0)

4)Գտե՛ք b վեկտորի մոդուլը, եթե |a| = 6 սմ.
ա) b = 4a
բ) b = -3a
գ)b = 1/3a

5)O-ն ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք k-ն, եթե DA + DC = k · DO:
6)O-ն ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք k-ն, եթե AB + AD = k · CO

1)72 էջը մուտքագրելու համար աշխատակիցներից առաջինը ծախսում է 8 ժ, իսկ երկրորը՝ 9ժ:
ա) Քանի՞ էջ կարող են նրանք միասին մուտքագրել 3 ժամում:
բ) Համատեղ աշխատելով նրանք քանի՞ ժամում կմուտքագրեն 340 էջ:

a17x3=51էջ

պատասխան

բ  17340​=20 ժամ

պատասխան

2)90 էջը մուտքագրելու համար աշխատակիցներից առաջինը ծախսում է 9 ժ, իսկ երկրորդը՝ 10 ժ:
ա) Քանի՞ էջ կարող են նրանք միասին մուտքագրել 4 ժամում:
բ) Համատեղ աշխատելով՝ նրանք քանի՞ ժամում կմուտքագրեն 190 էջ:

$19\times 4=76$ էջ

19190​=10 ժամ

Պատասխան՝ 10 ժամ

3)Առաջին տակառում կա 100 լ հեղուկ, իսկ երկրորդում՝ 75 լ: Առաջին տակառից օրական դատարկվում է 2 լ հեղուկ, իսկ երկրորդից 1,5 լ:
ա) Քանի՞ օր հետո կդատարկվի առաջին տակառը:
բ) Քանի՞ օր հետո տակառների հեղուկները կհավասարվեն:

2100​=50 օր

Պատասխան՝ 50 օր

4)Առաջին տակառում կա 120 լ հեղուկ, իսկ երկրորդում՝ 100 լ: Առաջին տակառից՝ օրական դատարկվում է 3 լ հեղուկ, իսկ երկրորդից 2 լ:
ա) Քանի՞ օր հետո կդատարկվի երկրորդ տակառը:
բ) Քանի՞ օր հետո տակառների հեղուկները կհավասարվեն:

Պատասխան՝ 20 օր

5)Մի քանի գրքերի համար վճարել են 600 դրամ: Գրքերից մեկի արժեքը վճարված գումարի 30 %-ն է, իսկ մյուսինը` 40 %–ը:
ա) Առաջին գիրքը քանի՞ դրամով է էժան երկրորդից:
բ) Որքա՞ն դրամ են վճարել մնացած գրքերի համար:

Պատասխան՝ 180 դրամ

6)Մի քանի գրքերի համար վճարել են 900 դրամ: Գրքերից մեկի արժեքը վճարված գումարի 20 %-ն է, իսկ մյուսինը` 30 %-ը:
ա) Առաջին գիրքը քանի՞ դրամով է էժան երկրորդից:
բ) Որքա՞ն դրամ են վճարել մնացած գրքերի համար:

Պատասխան՝ 450 դրամ

7)Երկու օրում շտեմարան բերին 300 տ հացահատիկ, ընդ որում՝ երկրորդ օրը բերեցին առաջին օրը բերածի 20 %-ը:
ա) Քանի՞ տոննա հացահատիկ բերեցին շտեմարան առաջին օրը:
բ) Երկրորդ օրը բերված հացահատիկը առաջին օրվա հացահատիկի ո՞ր մասն է կազմում:

Պատասխան՝ {1}{5}​ (կամ 20%)

8)Երկու օրում շտեմարան բերին 400 տ հացահատիկ, ընդ որում՝ երկրորդ օրը բերեցին առաջին օրը բերածի 30 %-ը:
ա) Քանի՞ տոննա հացահատիկ բերեցին շտեմարան առաջին օրը:
բ) Երկրորդ օրը բերված հացահատիկը առաջին օրվա հացահատիկի ո՞ր մասն է կազմում:

Պատասխան՝ 3\10​

Առողջությունը մարդու նորմալ վիճակնե երբ նա իրեն լավ է զգում։Առողջությունը կախված է հետևալ գործոներից։

1.Սնունդ
2.Մարզանք
3.Հոգեվիճակ
4.Պատասխանատու վարքակից
5.Աղքատություն
6.Շրջակա միջավայր
7.Հիգիենա
8.ժառանգականություն
9.Վնասակար սովորություններ
10.Կրթություն